Cos'è funzione analitica?

Funzione Analitica

Una funzione analitica (detta anche olomorfa nel contesto complesso) è una funzione che può essere localmente rappresentata da una serie di potenze convergente. Questo significa che, per ogni punto nel dominio della funzione, esiste un intorno di quel punto in cui la funzione è uguale alla somma di una serie di potenze.

Definizione formale:

Una funzione f(z) è analitica in un punto z₀ se esiste un intorno aperto D di z₀ tale che per ogni z in D vale:

f(z) = Σ (aₙ * (z - z₀)ⁿ)  per n = 0 a ∞

dove aₙ sono coefficienti complessi costanti.

In altre parole, una funzione è analitica se può essere espressa come una serie%20di%20potenze in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Proprietà Importanti:

• Derivabilità: Una funzione analitica è infinitamente derivabile. Infatti, i coefficienti della serie di potenze possono essere calcolati usando le derivate della funzione nel punto z₀.
• Analiticità implica olomorfia e viceversa (nel contesto complesso): In analisi complessa, i concetti di funzione analitica e funzione olomorfa sono equivalenti. Una funzione olomorfa è definita come una funzione complessa differenziabile in un intorno di ogni punto del suo dominio.
• Unicità: Se due funzioni analitiche coincidono su un insieme aperto non vuoto, allora coincidono ovunque nel loro dominio connesso. Questo è noto come il principio di prolungamento%20analitico.
• Operazioni: La somma, il prodotto e la composizione di funzioni analitiche sono anch'esse analitiche (dove la composizione è definita). Anche il quoziente di due funzioni analitiche è analitico, tranne nei punti in cui il denominatore è zero.
• Integrazione: L'integrale di una funzione analitica lungo un cammino chiuso in un dominio semplicemente connesso è zero (teorema di Cauchy).

Esempi:

• I polinomi sono funzioni analitiche.
• Le funzioni esponenziali (eᶻ), trigonometriche (seno, coseno) e iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico) sono funzioni analitiche.
• La funzione logaritmo è analitica ovunque tranne sul semiasse reale negativo.
• Le funzioni razionali (rapporto di polinomi) sono analitiche ovunque tranne che nei punti in cui il denominatore è zero.

Funzioni Non Analitiche:

• La funzione valore assoluto (|x|) non è analitica in x = 0.
• La funzione parte reale (Re(z)) e parte immaginaria (Im(z)) non sono funzioni analitiche.
• La funzione coniugato complesso (z̄) non è una funzione analitica.

Importanza:

Le funzioni analitiche svolgono un ruolo fondamentale in molti campi della matematica e della fisica, tra cui l'analisi complessa, le equazioni differenziali, la teoria del potenziale e la meccanica quantistica. La loro "ben educazione" (derivabilità infinita, rappresentabilità tramite serie di potenze) le rende particolarmente trattabili e adatte a svariate applicazioni.